Parrondo Paradoks Forexworld

Parrondos Paradox: Sebuah Studi Bergabung Juni 2008 Status: Objective yes Subjective no. 11 Posts Sejak mendengar tentang Parrondos Paradox (disebut PP dari sini) dan melihat usaha untuk membuatnya bekerja untuk perdagangan, saya memutuskan untuk memeriksanya. SMJones tampaknya telah menemukan EA yang menerapkan PP di threadnya yang berjudul Modified Parrondos Paradox namun tanpa juga menguji game individual di samping paradoks maka tesnya sebenarnya tidak lengkap. Saya tahu ini karena Anda masih bisa menggunakan PP dan membuat hasil positif karena rata-rata akan terburuk dalam tiga permainan (yaitu pengembalian positif untuk sistem PP tidak berarti permainan lainnya secara individual lebih buruk kemungkinannya lebih besar beberapa dari mereka lebih baik) . Saya memutuskan untuk membuat aplikasi MS Access sederhana dan cepat (yang akan saya posting di sini nanti) yang menjalankan simulasi Parrondos Paradox Original dan Coop untuk pengaturan apa pun yang ingin Anda berikan kepada mereka. Aku memang membuat versi Excel tapi aku tidak senang dengan itu (terutama karena kinerjanya omong kosong). Aku havent membuat versi yang tepat karena sayangnya aku tidak melihat nilainya belum. Selama hari-hari berikutnya saya akan menjalankan banyak tes dengan menggunakan aplikasi saya dan memposting hasil dan grafik sehingga saya dapat menunjukkan kepada Anda siapa yang telah mengajukan pertanyaan tentang PP dan juga mereka yang sedang berpikir untuk mencoba membuat EA dengannya. Untuk menendang semuanya, saya akan menjelaskan bagaimana simulator bekerja - dan ini adalah PP Asli untuk sementara waktu. Pertama, keseluruhan parameter: Spread: ini diatur ke 1 pip Cycles: ini adalah jumlah siklus yang harus dijalankan dalam sekali sebelum mengatur ulang beberapa variabel pelacakan (termasuk pengacak) Iterasi: ini adalah jumlah siklus yang lengkap untuk dijalankan. Mod: 3 (set at 3 untuk Original Original PP tapi bisa apa saja dari 2 sampai apapun) Parameter Game: Ada 3 game, diberi nama A, B1 dan B2. Setiap permainan memiliki jumlah: - Win dan Loss dalam pips (baik spread pre-spread maupun post spread) - Din dan Loss dalam langkah-langkah (default ke 1 ini cukup jelas dalam uji sim). - Probabilitas - Edge. Tepi memberi setiap permainan tepi umnya sendiri. Silakan mencari sumber lain untuk lebih mendalam mengenai permainan. Keluaran Simulator mengeluarkan semua siklus dan hasil iterasi ke meja (untuk tujuan penelitian) dan juga menghasilkan tiga grafik yang berbeda. Bagan 1 hanya menunjukkan hasil langkah untuk kelima game dan kombinasi berikut, sementara Bagan 2 menunjukkan hasil pip untuk ini: 1) PP 2) Game A hanya 3) Game B only (B1 dan B2 digabungkan menggunakan aturan mod yang sama dengan PP) 4) Game B1 hanya 5) Game B2 only Chart 3 hanya menunjukkan hasil langkah untuk PP, Game A dan Game B (yaitu untuk tujuan kejelasan karena game B2 selalu meroket) Karena saya menggunakan nomor acak setengah belahan VBA Generator Saya telah memasukkan beberapa kontrol untuk memantau keengganan sebenarnya dari nilai yang digunakan. Hal-hal penting yang perlu diperhatikan: 1) Game B1 dan B2 harus fair atau PP tidak bekerja. Rumus untuk membuat B1 dan B2 adil adalah: Prob (B2) (1 - Prob (B1) - Sqr (Prob (B1) - (Prob (B1) Prob (B1)))) (1 - (2 Prob (B1) )) 2) Pembuatan dan pemutusan penggunaan PP untuk perdagangan adalah pelacakan Langkah dan Pips secara terpisah. Pelemparan koin klasik sama dengan langkah dan pips yang sama, yaitu 1 untuk menang, -1 untuk kerugian. Ini tidak cocok untuk trading. Komentar: Sesuatu yang perlu diingat mengenai PP. Menurut definisi PP asli ditemukan untuk menunjukkan dua game kalah (Game A dan Game B yang merupakan permainan B1 dan B2 bersama-sama) dapat dikombinasikan bersama untuk menciptakan strategi kemenangan secara keseluruhan. Dan itu. Sejauh yang saya lihat ini tidak akan bekerja dalam trading karena akan selalu ada Game (kebanyakan B2) yang akan selalu tampil lebih baik dari pada PP. Menurut saya triknya adalah melihat apakah aturan PP yang bisa ditekuk seperti kombinasi Game akan membuat kinerja PP jauh lebih baik daripada game individual manapun. Sejauh ini, menurut saya, PP tidak akan bekerja untuk trading tapi saya telah mencapai beberapa hasil menarik dengan menggunakan parameter yang sangat berbeda dengan parameter PPs asli. Keseluruhannya, saya akan mengupdate ini setiap hari dengan hasil sim baru dan beberapa penjelasan dll. Adalah contoh dari Grafik 1 dan 2: Cukup jelas Anda dapat melihat garis kuning PP yang memiliki keuntungan positif pada bagan Langkah (Bagan 1) namun kalah dalam tabel pips (Bagan 2) Bergabung Juni 2008 Status: Tujuan ya Subyektif no. 11 Posting Saya pikir Anda menuju ke arah yang benar tapi saya tidak berpikir yang sederhana. Seperti yang saya sebutkan sebelumnya SMJones memodifikasi pengujian PP tidak menguji game individu (sejauh yang saya tahu) dan tidak lengkap. Menggabungkan 3 sistem yang memiliki harapan positif secara keseluruhan akan memberi Anda hasil positif, terlepas dari bagaimana bagaimanapun menggabungkan ketiga sistem ini sebenarnya dapat mengembalikan Anda kurang dari sekedar menggunakan sistem harapan tertinggi. Itulah sebabnya versi SMJones perlu dibandingkan ke tingkat permainan individu. Anyways, mudah-mudahan saya menjelaskan diri saya sedikit lebih jelas di sini: Ok sekarang saya ingin menjelaskan beberapa perbedaan dalam parameter yang dapat disesuaikan yang tersedia untuk trading dibandingkan dengan latihan flipping koin seperti yang didefinisikan oleh PP asli. Langkah vs Pips Metode PP klasik asli, seperti kita ketahui, menggunakan koin yang membalik sehingga kami memantau keberhasilan permainan dengan menambahkan kemenangan dan kerugian yang akan saya panggil langkah-langkahnya. Kemenangan adalah 1 dan kerugian adalah -1. Pelacakan langkah-langkah penting untuk Game B hanya karena pelacakan langkah dan mod (yang biasanya 3) menentukan apakah Game B1 atau B2 digunakan. Selain itu, pelacakan memberi kami nilai akhir untuk jumlah iterasi yang dijalankan PP. Sekarang ini bagus untuk menunjukkan konsepnya karena dalam latihan memutar koin, kemenangan dan kerugian sama-sama bernilai sama nilainya (masing-masing 1). Dalam trading ini tidak baik karena jika kita memiliki Games A, B1 dan B2 semua dengan RR 1: 1 maka kita akan membuang Game A dan B1 dan tetap B2 (ini tentu saja menggunakan contoh hit rates 49 untuk Game A, 10 Game B1 dan 75 untuk game B2). Jadi, mana yang meninggalkan kita Apa gunanya menyelidiki PP untuk digunakan dalam perdagangan. Yang cukup menarik lagi ada banyak parameter PP yang bisa disesuaikan dan diuji. Saya akan membahasnya sekarang dan membandingkannya dengan setting flipping koin. Banyak Trading Di koin membalik setiap menang dan rugi adalah sama untuk setiap pertandingan namun dalam perdagangan kita bisa melakukan ini. Misalnya Game A 1 lot, Game B1 0.1 lot dan Game B2 3.0 banyak. Dalam sim saya saya memasukkan mereka sebagai dolar. Win Loss Steps Latihan koin flipping hanya memungkinkan untuk 1 dan -1 untuk menang dan kalah masing-masing tapi kita bisa mengubahnya menjadi apapun yang kita inginkan, misalnya Game A Win 1, -1 Loss, Game B1 Win 2, -1 Loss, Game B2 Menang 1, -3 Rugi. Langkah-langkah ini akan mempengaruhi pilihan mod dan perpindahan antara B1 dan B2. Ini tidak akan mempengaruhi tingkat hit yang sebenarnya. Edge dan Spreads Dengan koin flipping tidak ada spread. Tapi seperti yang kita semua ketahui dalam trading ada spread dan komisi yang segera menarik kita mendekati perkiraan negatif. Dalam sim ini kita bisa menentukan spread apapun (saya pilih 1 pip) tapi kita juga bisa memberikan salah satu game yang kita inginkan. Tepian diberikan dalam dolar dan parameter ini digunakan untuk menyesuaikan harapan setiap permainan. Urutan, Siklus dan Iterasi Ini sama seperti dalam latihan membalik koin namun patut untuk disebutkan secara singkat. Di sim kita bisa memilih urutan berulang Game A dan B sampai maksimal 5 (Misalnya AAAAB, ABBAB dan sebagainya). Siklusnya ditetapkan sekitar 1000 dan setiap iterasi terdiri dari jumlah siklus yang telah selesai. Variabel pelacakan disetel ulang untuk setiap iterasi dan nilainya disimpan untuk grafik. Sebagian besar sims yang saya jalankan akan memiliki minimal 1000 siklus dan 500 iterasi yang setara dengan 500.000 game. Kemungkinan yang Mungkin Ada sedikit harapan bahwa ketika saya mulai meneliti PP yang menggunakan kombinasi permainan harapan negatif bisa menjadi hasil positif namun ini belum terbukti (dan saya tidak menahan nafas saya untuk yang itu). Tapi bagaimana dengan hanya satu dari permainan yang memiliki harapan negatif atau dua atau tidak sama? Dapatkah kombinasi 3 permainan dengan harapan positif menghasilkan hasil yang lebih baik daripada permainan satu per satu (atau bahkan Game B secara keseluruhan). Sejauh ekspektasi saya terhadap latihan kecil ini, saya tidak memilikinya. Saya akan posting sebagai grafik berharga banyak dan hasil yang saya bisa dan secepat yang saya bisa dan saya akan memposting sim itu sendiri begitu saya membersihkannya dan membuatnya lebih user friendly. Bergabung Jan 2010 Status: Member 86 Posts Saya percaya hampir tidak mungkin untuk menerapkannya dalam perdagangan. Game PP dimainkan dengan syarat tingkat kemenangan game A, B1 dan B2 dijamin konsisten. Kombinasi penyitaan hanya bermain-main untuk memanfaatkan ganjil tingkat kemenangan yang tinggi dari game B2 inorder agar bisa menang secara keseluruhan di akhir. Tentu itu akan berhasil, semuanya bermuara pada faktor keuntungan positif. Pasar sebenarnya sangat berbeda dengan teori fixed win rate. Tidak ada strategi yang bisa mempertahankan tingkat kemenangan konstan. Terkadang tampil lebih baik, beberapa waktu lebih buruk. Karena itu, winlose tidak bisa diprediksi. Saya melihat sistem PP smjones, dari hasilnya, Anda akan melihat bahwa tingkat kemenangan keseluruhannya (atau beli atau jual) jauh lebih tinggi. Ini membuat saya bertanya-tanya bahwa permainannya Tingkat kemenangan sebenarnya lebih baik dari pada sistem standar PP. Smjone begitu luar biasa sehingga dia mengisap memilih permainan loosing. LOL. Tapi sistem apa pun yang dia gunakan, dia melakukannya dengan sangat baik dengan sistem individual, dan keseluruhan sistem PP secara keseluruhan lebih baik. Itu dugaan saya, kecuali smjone bisa menjelaskan sebaliknya. Seperti yang dikatakan rangebound, jika Anda memiliki permainan tingkat menang yang lebih tinggi, dan tingkat menang yang lebih rendah, akan lebih bodoh jika memainkannya nanti. Masalahnya adalah tingkat kemenangan kita yang tinggi seringkali bermasalah, karena perubahan pasar. Jadi satu-satunya usaha yang layak adalah membuka perdagangan yang memiliki kesempatan menang lebih tinggi, berdasarkan fakta bahwa perdagangan sebelumnya adalah perdagangan yang kalah. Jadi mungkin ada beberapa prestasi dalam bereksperimen cocok dua atau tiga sistem yang berbeda. Gunakan sistem tingkat kemenangan tertinggi sebagai game A, tapi gunakan stradegy rescuerecover (efek ratchet) setelah kalah permainan. Saya pikir hedging, atau setidaknya membuka posisi berlawanan dari perdagangan yang ada, cukup berguna dengan ini. Yang berarti Anda membutuhkan broker di luar usa. Anggota harus memiliki minimal 0 voucher untuk diposkan di thread ini. 0 trader melihat sekarang Forex Factoryreg adalah merek dagang terdaftar. Perkembangan di Parrondos Paradox Harmer, G. P. dan Abbott, D. Strategi penurunan dapat dimenangkan oleh paradigma Parrondos, Nature 402 864 (1999). CrossRef Arena, P. Fazzino, S. Fortuna, L. dan Maniscalco, P. Teori permainan dan dinamika non-linear: studi kasus Paradox Parrondo, Chaos, Solitons amp Fractals 17 (23) 545555 (2003). MATH CrossRef Behrends, E. Latar belakang matematis paradoks Parrondos, Proc. Kebisingan SPIE di Sistem Kompleks dan Dinamika Stokastik II. Maspalomas, Spanyol, Ed: Zoltan Gingl, 5471 510517 (2004). Von Neumann, J. dan Morgenstern, O. Teori Permainan dan Perilaku Ekonomi, Princeton University Press, New York, (1954). Blackwell, D. dan Girshick, M. A. Teori Permainan dan Keputusan Statistik, John Wiley amp Sons, New York (1954). MATH Behrends, E. Paradigma Parrondos: strategi apriori dan adaptif, Preprint: A-02-09, math. fu-berlin. de (2002). Groeber, P. Pada game Parrondos yang digeneralisasi oleh Behrends, Catatan Kuliah di Ilmu Kontrol dan Informasi. 341 223230 (2006). CrossRef MathSciNet Abbott, D. Davies, P. C. W. dan Shalizi, C. R. Urutan dari gangguan: peran kebisingan dalam proses kreatif: Isu khusus tentang teori permainan dan proses evolusioneroverview, Fluctuation and Noise Letters, 2 C1C12 (2002). CrossRef MathSciNet Allison, A. Pearce, C. E. M. dan Abbott, D. Menemukan kata kunci di antara kebisingan: Klasifikasi teks otomatis tanpa parsing, Proc. Kebisingan SPIE dan Stochastics di Sistem dan Keuangan Kompleks, Florence, Italia, Eds: Jnos Kertsz, Stefan Bornholdt, dan Rosario N. Mantegna 6601 660113 (2007). Davies, P. C. W. Fisika dan kehidupan: Ceramah Memorial Abdus Salam, Konferensi Trieste Keenam mengenai Evolusi Kimia, Trieste. Italia, Eds: J. Chela-Flores, T. Tobias, dan F. Raulin, Penerbit Akademik Kluwer 1320 (2001). Parrondo, J. M. R. Cara menipu matematikawan yang buruk, di EEC HCampM Network on Complexity and Chaos (ERBCHRX-CT940546), ISI, Torino, Italia (1996), tidak diterbitkan. Adjari, A. dan Prost, J. Drift yang diinduksi oleh potensial periodik simetri rendah: Pulsed dielectrophoresis, C. R. Acad. Ilmu Paris, Srie II, 315 16351639 (1993). Johnson, N. F. Jeffries, P. dan Hui, P. M. Kompleksitas Pasar Keuangan. Oxford University Press, Oxford (2003). Lee, C. F. Johnson, N. F. Rodriguez, F. dan Quiroga, L. Quantum koherensi, kebisingan berkorelasi dan permainan Parrondo, Fluktuasi dan Noise Letters 2 (4) L293L297 (2002). CrossRef MathSciNet Meyer, D. A. dan Blumer, H. Quantum Parrondo games: bias dan tidak bias, Fluktuasi dan Noise Letters 2 (4) L257L262 (2002). CrossRef MathSciNet Wolf, D. M. Vazirani, V. V. dan Arkin, A. P. Keragaman pada saat kesengsaraan: Strategi probabilistik dalam permainan bertahan mikroba, Journal of Theoretical Biology 234 227253 (2005). CrossRef MathSciNet Reed, F. A. Epistasis dua lokus dengan seleksi antagonis seksual: Paradoks Parrondos genetik, Genetika, 176. 19231929 (2007). CrossRef Masuda, N. dan Konno, N. Perilaku subkritis dalam dinamika Dominan-Kinzel superkritis, Jurnal Fisika Eropa B 40 313319 (2004). Harmer, G. P. dan Abbott, D. Tinjauan paradoks Parrondos, Fluktuasi dan Surat Kebisingan, 2 (2) R71R107 (2002). CrossRef Pinsky, R. dan Scheutzow, M. Beberapa ucapan dan contoh tentang kekalahan transien dan kekambuhan acak, Annales de lInstitut Henri PoincarProbabilits et Statistiques 28 519536 (1992). MATH MathSciNet Maslov, S. dan Zhang, Y. Strategi investasi optimal untuk aset berisiko, International Journal of Theoretical and Applied Finance 1 377387 (1998). MATH CrossRef Westerhoff, H. V. Tsong, T. Y. Chock, P. B. Chen Y. dan Astumian, R. D. Bagaimana enzim dapat menangkap dan mentransmisikan energi bebas yang terkandung dalam medan listrik berosilasi, Prosiding National Academy of Science 83 47344738 (1986). CrossRef Key, E. S. Contoh komputasi dari eksponen Lyapunov maksimal, Teori Probabilitas dan Bidang Terkait 75 97107 (1987). MATH CrossRef MathSciNet Abbott, D. Ikhtisar: Masalah kebisingan dan fluktuasi yang tidak terpecahkan, Kekacauan. 11 526538 (2001). MATH CrossRef Luenberger, D. G. Ilmu Pengetahuan Investasi, Oxford University Press, Oxford (1997). Rosato, A. Strandburg, K. J. Prinz F. dan Swendsen, R. H. Mengapa kacang Brazil berada di atas: Ukuran segregasi bahan partikulat dengan gemetar, Physical Review Letters 58 10381040 (1987). CrossRef MathSciNet Allison, A. dan Abbott, D. Dasar fisik untuk game Parrondos, Fluctuation and Noise Letters. 2 (4) L327L341 (2002). CrossRef MathSciNet Toral, R. Amengual, P. dan Mangioni, S. Parrondos permainan sebagai ratchet diskrit, Physica A. 327 (12) 105110 (2003). MATH CrossRef MathSciNet Amengual, P. Allison, A. Toral, R. dan Abbott, D. Rancangan waktu diskrit, persamaan Fokker-Planck dan paradigma Parrondos, Prosiding Royal Society London A. 460 (2048), 22692284 (2004). MATH MathSciNet CrossRef Harmer, G. P. Abbott, D. dan Taylor, P. G. Paradoks permainan Parrondos, Prosiding Royal Society London A 456 247259 (2000). MATH MathSciNet Key, E. S. Kosek, M. M. Abbott, D. Paradigma Parrondos: bagaimana membangun permainan yang tidak adil dengan menyusun permainan yang adil, ANZIAM J. 47. 495511 (2006). MATH MathSciNet CrossRef Allison, A. dan Abbott, D. Resonastochore resonansi dalam ratchet Brown, Fluktuasi dan Noise Letters 1 (4) L239L244 (2001). CrossRef MathSciNet Moraal, H. Perilaku berlawanan dalam permainan berdasarkan model spin, Journal of Physics A. 33 L203L206 (2000). MATH CrossRef MathSciNet Costa, A. Fackrell, M. dan Taylor, PG Dua isu seputar paradigma Parrondos, Kemajuan dalam Permainan Dinamis: Aplikasi untuk Ekonomi, Keuangan, Optimalisasi, dan Pengendalian Stokastik, Eds: Andrzej S. Nowak dan Krzysztof Szajowski, 7 599609 (2005). MathSciNet Parrondo, J. M. R. Harmer, G. P. dan Abbott, D. Game paradoks baru berdasarkan ratchets Brown, Physical Review Letters 85 52265229 (2000). CrossRef Kay, R. J. dan Johnson, N. F. Memenangkan kombinasi permainan yang bergantung pada sejarah, Review Fisik E 67 056128 (2003). Toral, R. Cooperative Parrondos games, Fluctuation and Noise Letters 1 L7L12 (2001). CrossRef MathSciNet Allison, A. dan Abbott, D. Sistem kontrol dengan umpan balik stokastik, Chaos 11 715724 (2001). MATH CrossRef Bishop, C. M. Neural Networks untuk Pengenalan Pola, Oxford Press Oxford Bab 9, 346349 (1996). MATH Van den Broeck, C. Reimann P. Kawai, R. dan Hnggi, P. Digabungkan dengan motor Brown, Catatan Kuliah dalam Fisika: Mekanika Statistik Biokompleksitas, Eds: D. Reguera, M. Rubi, dan JMG Vilar, 527 Springer - Verlag: Berlin, Heidelberg, New York, 93111 (1999). Onsager, L. Hubungan timbal balik dalam proses ireversibel I, Physical Review 37 405426 (1931). MATH CrossRef Onsager, L. Hubungan timbal balik dalam proses ireversibel II, Physical Review 38 2265 (1931). Cleuren, B. dan Van den Broeck C. Berjalan acak dengan mobilitas negatif mutlak, Physical Review E, 64 030101 (2002). CrossRef Di Crescenzo, A. Paradigma Parrondo dalam teori keandalan, The Math Scientist 32 (1) 1722 arXiv: math0602308v2 (2007). MATH MathSciNet Kocarev, L. dan Tasev, Z. Lyanpunov eksponen, sinkronisasi dengan noise, dan paradigma Parrondos, Physical Review E 65 046215 (2002). CrossRef MathSciNet Buceta, J. Lindenberg, K. dan Parrondo, J. M. R. Pembentukan pola yang disebabkan oleh dinamika dinamika nonequilibrium dinamika, Review Fisik E 66 036216 (2002). CrossRef MathSciNet Almeida, J. Peralta-Salas, D. dan Romera, M. Dapatkah dua sistem kacau melahirkan ordo Physica D 200 124132 (2005). MATH CrossRef MathSciNet Boyarsky, A. Gra, P. dan Shafiqul Islam, Md. Peta kacau yang dipilih secara acak dapat menimbulkan perilaku yang hampir tertata, Physica D 210 284294 (2005). MATH CrossRef MathSciNet Harmer, G. P. Abbott, D. Taylor, P. G. dan Parrondo, J. M. R. Parrondos games dan ratchets Brown, Chaos 11 705714 (2001). MATH CrossRef Atkinson, D. dan Peijnenburg, J. Bertindak rasional dengan strategi irasional: Aplikasi efek Parrondo, Penalaran, Rasionalitas, Probabilitas, Ed: Maria Carla Galavotti, Roberto Scazzieri, dan Patrick Suppes, Publikasi CSLI, Stanford (2007). Diamond, J. M. Mengapa Seks itu Menyenangkan? Evolusi Seksualitas Manusia, Harper Collins, New York (1997). Arizmendi, C. M. Cara yang paradoks bagi pecundang dalam permainan kencan, Prosiding AIP Nonequilibrium Teknik Statistik dan Fisika Nonliear: Konferensi XV tentang Mekanika Statistik Nonequilibrium dan Fisika Nonlinier. Mar del Plata, Argentina, 48 Desember 2006, Eds: Orazio Descalzi, Osvaldo A. Rosso, dan Hilda A. Larrondo, 913. 2025 arXiv: physics0703189v1 (2007). Satinover, J. B. dan Sornette, D. Ilusi kontrol dalam sejarah horison waktu dan permainan Parrondo, The European Physical Journal B 60 (3) 369384 (2007). CrossRef MathSciNet Satinover, J. B. dan Sornette, D. Ilusi kontrol dalam permainan Brown, Physica A 386 (1) 339344 (2007). CrossRef Boman, M. Johansson, SJ dan Lyback, D. Strategi Parrondo untuk pedagang buatan, di Intelligent Agent Technology: Research and Development, Eds: Ning Zhong, Jiming Liu, Setsuo Ohsuga, Jeffrey Bradshaw, World Scientific, 150159 arXiv: cs. Ce0204051 (2001). Wah-Sui Almberg, W-S. Dan Boman, M. Algoritma manajemen portofolio agen aktif, Artificial Intelligence and Computer Science. Ed: Susan Shannon, Nova Science Publishers, Inc. Hauppauge NY Bab 4, 123134 (2005). Fernholz, R. and Shay, B. Teori portofolio stokastik dan ekuilibrium pasar saham, Journal of Finance, 37 615624 (1982). CrossRef Cover, T. M. dan Ordentlich, E. Portofolio Universal dengan informasi sampingan, Transaksi IEEE pada Teori Informasi 42 (2), 348363 (1996). MATH CrossRef MathSciNet Dempster, M. A. H. dan Evstigneev, I. G. Volatilitas-menginduksi pertumbuhan keuangan, Kuantitatif Keuangan 7 (2) 151160 (2007). MATH CrossRef MathSciNet Heath, D. Kinderlehrer, D. dan Kowalczyk, M. Diskrit dan ratchets terus menerus: Dari lemparan koin ke motor molekuler, Sistem Dinamika Diskrit dan ContinuousSeries B. 2 153167 (2002). MATH CrossRef MathSciNet Amengual, P. Toral R. Allison, A. dan Abbott, D. Efisiensi ratchets diskrit-waktu, arXiv: cond-mat0410173 (2004). Feynman, R. P. Leighton, R. B. dan Sands, M. Ceramah Feynman tentang Fisika, 1 46.146.9 Addison-Wesley, Reading, MA (1963). Chaitin, G. J. The Unknowable, Springer-Verlag Berlin (1999). MATH Pearce, CEM Allison, A. dan Abbott, D. Perturbasi sistem tunggal dan korelasi urutan acak yang tidak berkorelasi, Prosiding Konferensi Internasional AIP tentang Analisis Numerik dan Matematika Terapan, Corfu, Yunani, Eds: Theodore E. Simos, George Psihoyios , Dan Ch. Tsitouras, 936 699 (2007).